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幂指函数化为以e为底_幂指函数极限底部可以先求吗

幂指函数化为以e为底_幂指函数极限底部可以先求吗

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「微积分」记住八个结论,幂指函数极限计算只需心算,答的快准稳

之前讲过很多种求极限的方法,具体可以参考之前的文章,每种题型都有适应的方法或多种方法的结合。这期文章是专门针对幂指函数极限类型的题型方法归纳。

计算幂指函数的极限是极限计算中的一个重要部分,也是学习微积分必须掌握的内容,几乎可以说是研究生考试必考的内容。如果没有掌握相关方法,那将是一场噩梦,但是掌握了这些结论,幂指函数的极限问题就相当于口算题。

(由于数学表达式用输入法很难打出来,所以采用拍照扫描上传的方式)

结论一:

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注意使用条件

上述结论一是可以证明的,有兴趣的同学可以自己去试着证明。结论一对于x趋于x0+、x0-、-∞、+∞的情况同样成立,也都可以证明。

值得注意的是,当A或(和)B不是有限常数,或者A不大于0时,上述命题结论不成立。因而不能用通过计算底和指数的极限来求幂指函数的极限。例如对于1^∞,0^0,∞^0型未定式就不能通过结论一来计算,但是可以通过适当变形,然后再利用结论一,求解过程中常用到结论二的三个重要极限。

另一点需要明确的是,结论一中由于f(x)与g(x)是同一个自变量x的函数,求其极限时是同步进行的。求幂指函数的极限不能理解为其底函数部分和指函数部分分别求极限,而应是幂指函数整体求极限。

结论二:

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这个之前就讲过了

结论三和结论四:

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结论三实际上就是换底法,换成以e为底的指数函数的极限求之。

结论四需要注意:

其中x的极限过程使φ(x)->0.注意上式左端的结构特点:第一,所求极限的函数为幂指函数;第二,其指数为无穷大(趋近无穷大),底数由两项所组成,一项是1,另一项是无穷小(趋于0);第三,无穷小所在的项与无穷大所在的项(指数)互为倒数。此外,易看出结论四的(变)极限是1^∞型极限,不是1^∞型或不能化为1^∞型的极限不能用结论四求之。

结论五:

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结论五说明无穷小所在的底函数部分f(x)与无穷大所在的指函数部分g(x)相乘,其乘积极限如为a,则1^∞型的幂指函数[1+f(x)]^[g(x)]的极限为e^a。

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结论六、结论七、结论八:

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注意结论七左端极限的过程φ(x)->∞,而且分子、分母及指数的变量完全相同,均为φ(x)。

结论七左端的幂指函数的极限的题型在考研中频率较高,应用结论七,对于此类幂指函数的极限只需要心算即可写出其极限结果,结论七具有简便、实用、有效的特点。

这7道例题采用上面的八个结论可以快速求解,基本可以心算:

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以上这些幂指函数极限的题目若不用这八个结论将会是很困难的。学会应用这八个结论将助于你在考场上快速求解。

作者水平有限,读者思维无限,如有细节错误请见谅,如有好的想法,不吝赐教,谢谢!

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